22-10-2010
A caracterização de limiares críticos em modelos epidemiológicos é
provavelmente o aspecto mais importante da investigação matemática
em epidemiologia, devido à mudança drástica da propagação epidémica no limiar crítico:
a extinção versus a persistência da epidemia.
Neste trabalho estudamos os limiares críticos dos modelos SIS e SIRI,
bem como o comportamento epidémico junto destes limiares críticos.
Para o modelo estocástico SIS, estudamos a evolução dinâmica
do valor médio, da variância e dos momentos de ordem mais elevada
da quantidade de indivíduos infectados.
Para estabelecer as equações dinâmicas para os momentos de todas as ordens
desenvolvemos fórmulas recursivas e observamos que a dinâmica dos
$m$ primeiros momentos depende do momento de ordem $m+1$.
Utilizando a técnica ``moment closure''
fechamos as equações dinâmicas para os $ m $ primeiros momentos
da quantidade de indivíduos infectados e desenvolvemos para cada $m$
uma fórmula recursiva que permite obter os equilíbrios
resultantes da dinâmica dos momentos.
Surpreendentemente, observamos que os equilíbrios estáveis obtidos
constituem boas aproximações dos momentos quase-estacionários do modelo SIS.
Para o modelo epidemiológico de reinfecção SIRI
estudamos as equações dinâmicas para as variáveis de estado
e calculamos o diagrama de transição de fase para a aproximação de campo médio.
Nesta aproximação observamos o chamado limiar crítico de reinfecção.
Além disso, calculamos as linhas de transição de fase analiticamente
para a aproximação par, melhorando os resultados obtidos na aproximação de campo médio.
